Question

16．如圖，AD⊥平面APB，AD∥BC，AP⊥PB，R、S分別是線段AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：RS∥平面PAD；
（2）若AB=BC=2AD=2AP，點(diǎn)Q在線段AB上，且BQ=3AQ，求證：平面DPQ⊥平面ADQ．

Answer 1

分析 （1）取PB中點(diǎn)E，連結(jié)RE，SE，則可利用中位線定理證明SE∥平面ADP，RE∥平面ADP，故而平面SRE∥平面ADP，于是SR∥平面ADP；
（2）假設(shè)AQ=1，則可根據(jù)線段的長度關(guān)系得出AP=2，AB=4，從而由余弦定理求出PQ，利用勾股定理的逆定理證出PQ⊥AQ，根據(jù)AD⊥平面APB得AD⊥PQ，故而PQ⊥平面ADQ，從而平面DPQ⊥平面ADQ．

解答 證明：（1）取PB中點(diǎn)E，連結(jié)RE，SE，則SE是△PBC的中位線，RE是△APB的中位線，
∴SE∥BC，又∵AD∥BC，∴AD∥SE，
∵AD?平面ADP，SE?平面ADP，
∴SE∥平面ADP，
同理可得：RE∥平面ADP，
又∵SE?平面SRE，RE?平面SRE，SE∩RE=E，
∴平面SRE∥平面ADP，∵SR?平面SRE，
∴SR∥平面ADP．
（2）設(shè)AQ=1，∵AB=2AP，BQ=3AQ，
∴AB=4，AP=2，
∵AP⊥PB，∴cos∠PAB=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{2}$．∴PQ=$\sqrt{A{P}^{2}+A{Q}^{2}-2AP•AQcos∠PAB}$=$\sqrt{3}$．
∴AQ²+PQ²=AP²，∴PQ⊥AQ．
∵AD⊥平面APB，PQ?平面APB，∴AD⊥PQ，
又∵AD?平面ADQ，AQ?平面ADQ，AD∩AQ=A，
∴PQ⊥平面ADQ，∵PQ?平面PDQ，
∴平面DPQ⊥平面ADQ．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，尋找線段的垂直關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．