Question

13．設f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，g（x）與f（x）的圖象關于直線x-1=0對稱，且當x∈[2，3]時，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³（a為實數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）在a∈（2，6]或（6，+∞）的情況下，分別討論函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先設f（x）的圖象上任意點（x，f（x）），求出它關于直線x=1的對稱點的坐標，由題意給出x的范圍，再代入g（x）的解析式化簡，再由偶函數(shù)的關系式求出另外一部分的解析式，最后用分段函數(shù)的形式表示出來；
（2）根據(jù)函數(shù)是一個偶函數(shù)，f（x） 在區(qū)間[-1，1]上的最大值與最小值，實際上分別等于f（x） 在區(qū)間[-1，0]上最大值與最小值，f（x）與函數(shù)g（x）的圖象關于直線x=1對稱，f（x） 在區(qū)間[-1，0]上最大值與最小值，也就是g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值與最小值，利用導數(shù)求g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值，得到結果．

解答 解：（1）設f（x）的圖象上任意點（x，f（x）），
它關于直線x=1的對稱點（2-x，f（x））在g（x）的圖象上，
當x∈[-1，0]時，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³，
當x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x³，
又∵f（x）是定義在x∈[-1，1]上的偶函數(shù)，
∴f（x）=2ax-4x³，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2ax+4{x}^{3}，-1≤x≤0}\\{2ax-4{x}^{3}，0＜x≤1}\end{array}\right.$；
（2）∵f（x）為定義在區(qū)間[-1，1]上的偶函數(shù)，
∴f（x） 在區(qū)間[-1，1]上的最大值與最小值，
實際上分別等于f（x） 在區(qū)間[-1，0]上最大值與最小值．
∵f（x）與函數(shù)g（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x） 在區(qū)間[-1，0]上最大值與最小值，
也就是g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值與最小值．
g′（x）=2a-12（x-2）²，
當2＜a＜6，
由g′（x）=0的二根為2±$\sqrt{\frac{a}{6}}$，其中2＜2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$＜3，2-$\sqrt{\frac{a}{6}}$＜2，
則g（x）在（2，2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$）遞增，在（2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$，3）遞減，
即有x=2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$取得最大值，且為$\frac{4a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{6}}$；
當a=6時，g′（x）=0的二根為1，3．
即有g（x）在[2，3]遞增，g（3）最大，且為8；
當a＞6時，g′（x）=0的二根為2±$\sqrt{\frac{a}{6}}$，其中2+$\sqrt{\frac{a}{6}}$＞3，2-$\sqrt{\frac{a}{6}}$＜2，
即有g（x）在[2，3]遞增，g（3）最大，且為2a-4．
綜上可得當2＜a＜6時，f（x）的最大值為$\frac{4a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{6}}$；
當a=6時，f（x）的最大值為8；
當a＞6時，f（x）的最大值為2a-4．

點評 本題考查了函數(shù)的對稱性，奇偶性的綜合應用，還考查了導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)之間的關系，涉及了分類討論思想和存在性問題等，比較綜合，屬于中檔題．