Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+2．
（1）若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數(shù)，則$\frac{-a-2}{2}$≤-5，或$\frac{-a-2}{2}$≥5，解得實數(shù)a的取值范圍．
（2）分類討論給定區(qū)間與函數(shù)對稱軸的關系，結合二次函數(shù)的圖象和性質，求出各種情況下g（a）的表達式，最后綜合討論結果，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{-a-2}{2}$為對稱軸的拋物線，
（1）若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數(shù)，
則$\frac{-a-2}{2}$≤-5，或$\frac{-a-2}{2}$≥5，
解得：a≤-12，或a≥8；
（2）當$\frac{-a-2}{2}$≤-5，即a≥8時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上為增函數(shù)，
當x=-5時，函數(shù)f（x）的最小值g（a）=-5a+17；
當-5＜$\frac{-a-2}{2}$＜5，即-12＜a＜8時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，$\frac{-a-2}{2}$]上為減函數(shù)，在區(qū)間[$\frac{-a-2}{2}$，5]上為增函數(shù)，
當x=$\frac{-a-2}{2}$時，函數(shù)f（x）的最小值g（a）=$\frac{-{a}^{2}-4a+4}{4}$；
當$\frac{-a-2}{2}$≥5，即a≤-12時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上為減函數(shù)，
當x=5時，函數(shù)f（x）的最小值g（a）=5a+37；
綜上所述：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}5a+37，a≤-12\\ \frac{-{a}^{2}-4a+4}{4}，-12＜a＜8\\-5a+17，a≥8\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．