Question

20．如圖1，在直角梯形EFBC中，F(xiàn)B∥EC，BF⊥EF，且EF=$\frac{1}{2}$FB=$\frac{1}{3}$EC=1，A為線段FB的中點(diǎn)，AD⊥EC于D，沿邊AD將四邊形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．
（I）求證：BC⊥平面EDB；
（Ⅱ）求點(diǎn)M到平面BEF的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出ED⊥平面ABCD，BC⊥ED，BC⊥BD，由此能證明BC⊥平面EDB．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M到平面BEF的距離為h，由V_M-BEF=V_B-EFM，能求出點(diǎn)M到平面BEF的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵在直角梯形EFBC中，F(xiàn)B∥EC，BF⊥EF，
且EF=$\frac{1}{2}$FB=$\frac{1}{3}$EC=1，A為線段FB的中點(diǎn)，AD⊥EC于D，
沿邊AD將四邊形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點(diǎn)，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED?平面ADEF，DE⊥AD，
∴ED⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，∴BC⊥ED，
∵AB=AD=1，在Rt△BAD中，BD=$\sqrt{2}$，
在直角梯形ABCD中，∵AB=AD=1，CD=2，∴BC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=DC²，∴BC⊥BD，
又BD∩ED=D，∴BC⊥平面EDB．
（Ⅱ）在Rt△FAB中，Rt△EDB中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
又EF=1，∴S_△BEF=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△EFM=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$，
設(shè)點(diǎn)M到平面BEF的距離為h，
由V_M-BEF=V_B-EFM，得$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△EFM}•AB$，
∴點(diǎn)M到平面BEF的距離h=$\frac{{S}_{△EFM}•AB}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．