Question

7．如圖所示，三棱錐D-ABC中，AC，BC，CD兩兩垂直，AC=CD=1，$BC=\sqrt{3}$，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若過點(diǎn)O的平面α與平面ACD平行，分別與棱DB，CB相交于M，N，在圖中畫出該截面多邊形，并說明點(diǎn)M，N的位置（不要求證明）；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)M為棱DB中點(diǎn)，N為棱BC中點(diǎn)時(shí)，平面α∥平面ACD．
（Ⅱ）由V_C-ABD=V_D-ABC，利用等體積法能求出點(diǎn)C到平面ABD的距離．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)M為棱DB中點(diǎn)，N為棱BC中點(diǎn)時(shí)，
平面α∥平面ACD．…（6分）
解：（Ⅱ）∵CD⊥AC，CD⊥BC，
∴直線CD⊥平面ABC，…（8分）
$AD=\sqrt{A{C^2}+C{D^2}}=\sqrt{{1^2}+{1^2}}=\sqrt{2}$，
$BD=\sqrt{B{C^2}+C{D^2}}=\sqrt{3+1}=2$．
又$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=\sqrt{1+3}=2$．
∴AB=BD，…（9分）
設(shè)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE，則BE⊥AD，
∴$BE=\sqrt{A{B^2}-A{E^2}}=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{2}/2）}^2}}=\frac{{\sqrt{14}}}{2}$，
${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AD•BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{14}}}{2}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
又V_C-ABD=V_D-ABC，
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為h，
則有$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CD$，…（10分）
即$\frac{{\sqrt{7}}}{2}•h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1$，∴$h=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴點(diǎn)C到平面ABD的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的判斷，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與證明、點(diǎn)到面的距離、線面平行、面面平行問題的合理運(yùn)用．