Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，過(guò)它的左焦點(diǎn)引傾斜角為$\frac{π}{3}$的弦PQ，則PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{12\sqrt{3}}{13}$，$\frac{3}{13}$）．

Answer 1

分析 由題意設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程化簡(jiǎn)可得13x²+24$\sqrt{3}$x+32=0，從而利用韋達(dá)定理求解即可．

解答 解：由題意設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
易知a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，F(xiàn)₁（-$\sqrt{3}$，0），
故直線PQ的方程為y=$\sqrt{3}$（x+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$x+3，
聯(lián)立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)可得，13x²+24$\sqrt{3}$x+32=0，
故x₁+x₂=-$\frac{24\sqrt{3}}{13}$，
故y₁+y₂=x₁+x₂=$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+6=$\frac{6}{13}$，
故PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{12\sqrt{3}}{13}$，$\frac{3}{13}$），
故答案為：（-$\frac{12\sqrt{3}}{13}$，$\frac{3}{13}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．