Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對于任意的正整數(shù)n都有S_n=n²，且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}中，b₆=b₃b₄，且b₃和b₅的等差中項(xiàng)是10．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n；等比數(shù)列{b_n}中，由b₆=b₃b₄，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b₁．設(shè)公比q＞0，由b₃和b₅的等差中項(xiàng)是10．可知
b₃+b₅=20．解得q，從而得到b_n．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
經(jīng)檢驗(yàn)n=1時也成立，
∴a_n=2n-1；
等比數(shù)列{b_n}中，∵b₆=b₃b₄，∴$_{1}{q}^{5}$=$_{1}^{2}{q}^{2}•{q}^{3}$，解得b₁=1．
設(shè)公比q＞0，由b₃和b₅的等差中項(xiàng)是10．
可知b₃+b₅=20．
∴q²+q⁴=20，
解得q=2，
從而b_n=2^n-1．
（2）若c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減，得-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+$2×\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ=-3+（3-2n）•2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）•2ⁿ．

點(diǎn)評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．