Question

11．已知函數(shù)f（x）=-x²-2x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{x+\frac{1}{4x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=g（f（x））-a有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1]
• B． （$\frac{1}{2}$，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）
• D． [1，$\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 分類討論以確定函數(shù)y=g（f（x））的單調(diào)性及取值情況，從而作出函數(shù)y=g（f（x））的簡(jiǎn)圖，從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：①當(dāng)-x²-2x≤0，即x≤-2或x≥0時(shí)，
y=g（f（x））=-x²-2x+1，
故y=g（f（x））在（-∞，-2]上是增函數(shù)，y_max=1，
y=g（f（x））在[0，+∞）上是減函數(shù)，y_max=1；
②當(dāng)-x²-2x＞0，即-2＜x＜0時(shí)，
y=g（f（x））=-x²-2x-$\frac{1}{4（{x}^{2}+2x）}$，
而y=-x²-2x在（-2，-1）上是增函數(shù)，在（-1，0）上是減函數(shù)；
且0＜-x²-2x≤1，
y=g（x）=x+$\frac{1}{4x}$在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{1}{2}$，1）上是增函數(shù)；
令-x²-2x＜$\frac{1}{2}$解得，x∈（-2，-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）∪（-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，0）；
令-x²-2x＞$\frac{1}{2}$解得，x∈（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）；
故y=g（f（x））=-x²-2x-$\frac{1}{4（{x}^{2}+2x）}$
在（-2，-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）上是減函數(shù)，在（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，-1）上是增函數(shù)，
在（-1，-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）上是減函數(shù)，在（-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，0）上是增函數(shù)；
且f（g（-$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$））=f（g（-$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$））=1，f（g（-1））=$\frac{5}{4}$；
故y=g（f（x））在（-∞，-2]上是增函數(shù)，y_max=1，
y=g（f（x））在[0，+∞）上是減函數(shù)，y_max=1；
作其圖象如圖，結(jié)合圖象可知，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，$\frac{5}{4}$），
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)及分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．