Question

17．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=cosx（2asinx-cosx）+sin²x的圖象的一條對稱軸是直線$x=-\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）求$f（-\frac{π}{3}）$的值和a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）解法一：由函數(shù)圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{6}$對稱，可得$f（-\frac{π}{3}）$=f（0）=-1，進(jìn)而得到a值；
解法二：利用二倍角公式和和差角（輔助角）公式，可得f（x）=asin2x-cos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x-φ），進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，可得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，解得a值，可得$f（-\frac{π}{3}）$的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$時，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）在$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）解法一：∵函數(shù)圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{6}$對稱，
∴$f（-\frac{π}{3}）$=f（0）=-cos²0=-1，
即$\frac{1}{2}$（-$\sqrt{3}a$-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{4}$=-1，
解得：a=$\sqrt{3}$，
故f（x）=cosx（2$\sqrt{3}$sinx-cosx）+sin²x
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
解法二：∵f（x）=cosx（2asinx-cosx）+sin²x=2asinxcosx-cos²x+sin²x=asin2x-cos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x-φ）的圖象的一條對稱軸是直線$x=-\frac{π}{6}$．
故當(dāng)$x=-\frac{π}{6}$時，asin2x-cos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，或asin2x-cos2x=-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
解得：a=$\sqrt{3}$，
故f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故$f（-\frac{π}{3}）$=2sin（-$\frac{5π}{6}$）=-1，
（Ⅱ）當(dāng)x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$時，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取最大值2；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取最小值1；

點評 本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二倍角公式和和差角（輔助角）公式，難度中檔．