Question

6．如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F．若AB=AC，AE=6，BD=5．
（1）求證：四邊形AEBC為平行四邊形．
（2）求線段CF的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導出∠ABC=∠BAE，從而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能夠證明四邊形ACBE為平行四邊形．
（2）由已知條件利用切割線定理求出EB=4，由此能夠求出CF=$\frac{8}{3}$．

解答 （1）證明：∵AE與圓相切于點A，∴∠BAE=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，
∴AE∥BC，
∵BD∥AC，∴四邊形ACBE為平行四邊形．
（2）解：∵AE與圓相切于點A，
∴AE²=EB•（EB+BD），即6²=EB•（EB+5），
解得EB=4，
根據(jù)（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，
設(shè)CF=x，由BD∥AC，得$\frac{AC}{BD}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{4}{5}=\frac{x}{6-x}$，解得x=$\frac{8}{3}$，
∴CF=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查平行四邊形的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．