Question

7．雙曲線S的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，直線$\sqrt{3}$x-3y+5=0上的點與雙曲線S的右焦點的距離的最小值等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求雙曲線S的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點（-2，0），斜率等于k的直線與雙曲線S交于A，B兩點，且以A，B，P（0，1）為頂點的三角形ABP是以AB為底的等腰三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和點到直線的距離公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可得到a，b，進而得到雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線AB：y=k（x+2），代入雙曲線的方程，運用韋達定理，討論k=0，k≠0，由中點坐標公式，結(jié)合兩直線垂直的條件，可得k的方程，解方程即可得到k的值．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，又a²+b²=c²，
設(shè)右焦點為（c，0），由題意可得d=$\frac{|\sqrt{3}c+5|}{\sqrt{3+9}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得c=$\sqrt{3}$，b=1，a=$\sqrt{2}$，
可得雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1；
（2）設(shè)直線AB：y=k（x+2），
當k=0時，可得A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），
即有A，B，P（0，1）為頂點的三角形ABP
是以AB為底的等腰三角形；
當k≠0時，代入雙曲線的方程可得
（1-2k²）x²-8k²x-8k²-2=0，
判別式△=64k⁴+4（1-2k²）（8k²+2）=8+16k²＞0恒成立，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，則AB的中點M坐標為（$\frac{4{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1-2{k}^{2}}$），
由題意可得PM⊥AB，可得k_PM=-$\frac{1}{k}$，
即有$\frac{2k-1+2{k}^{2}}{4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，解得k=$\frac{-3±\sqrt{11}}{2}$．
綜上可得k=0，或k=$\frac{-3±\sqrt{11}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線和雙曲線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，以及兩直線垂直的條件，屬于中檔題．