Question

8．二項(xiàng)式${（{2\sqrt{x}-\frac{1}{x}}）^6}$的展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)和等于365（用數(shù)字作答）．

Answer 1

分析 二項(xiàng)式${（{2\sqrt{x}-\frac{1}{x}}）^6}$的展開式中T_r+1=2^6-r（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，分別令r=0，2，4，6時(shí)，即可得出．

解答 解：二項(xiàng)式${（{2\sqrt{x}-\frac{1}{x}}）^6}$的展開式中T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（2\sqrt{x}）^{6-r}$$（-\frac{1}{x}）^{r}$=2^6-r（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
分別令r=0，2，4，6時(shí)，可得：T₁=${2}^{6}{∁}_{6}^{0}{x}^{3}$=64x³，T₃=${2}^{4}（-1）^{2}{∁}_{6}^{2}$x⁰=240，T₅=${2}^{2}（-1）^{4}{∁}_{6}^{4}\frac{1}{{x}^{3}}$=60，T₇=${2}^{0}（-1）^{6}{∁}_{6}^{6}\frac{1}{{x}^{6}}$=1．
所有有理項(xiàng)的系數(shù)和=64+240+60+1=365．
故答案為：365．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．