Question

2．已知函數(shù)f（x）=2^x-1+a，g（x）=bf（1-x），其中a，b∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值為2，則a的取值范圍是a≤-2或a＞-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)不等式可得2^x-1+a≥b（2^-x+a），從而令F（x）=2^x-1+a-b（2^-x+a）=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}}$+a-ab，分類討論以確定F（x）≥0的解集為[2，+∞），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及方程與不等式的關(guān)系求解即可．

解答 解：f（x）=2^x-1+a，
g（x）=bf（1-x）=b（2^1-x-1+a）=b（2^-x+a），
∵f（x）≥g（x），
∴2^x-1+a≥b（2^-x+a），
令F（x）=2^x-1+a-b（2^-x+a）
=$\frac{{2}^{x}}{2}$+a-$\frac{{2}^{x}}$-ab
=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}}$+a-ab，
①若b＜0，則$\underset{lim}{x→-∞}$（$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}}$+a-ab）=+∞，
與關(guān)于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值為2相矛盾，
故不成立；
②若b=0，則F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}}$+a-ab在R上是增函數(shù)；
即F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}$+a≥0的解集為[2，+∞），
故a=-2；
③若b＞0，則F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}}$+a-ab在R上是增函數(shù)；
即F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{{2}^{x}}$+a-ab≥0的解集為[2，+∞），
故2+a=b（$\frac{1}{4}$+a），
故b=$\frac{2+a}{\frac{1}{4}+a}$＞0，
故a＜-2或a＞-$\frac{1}{4}$；
綜上所述，a≤-2或a＞-$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，同時(shí)考查了方程與不等式、函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．