Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓P：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，已知A（0，-2）與橢圓左頂點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱，且直線AF的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（1）求橢圓P的方程；
（2）過點(diǎn)Q（-1，0）的直線l交橢圓P于M、N兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)E，$\overrightarrow{MQ}$=$λ\overrightarrow{QN}$，$\overrightarrow{ME}$=$μ\overrightarrow{EN}$，證明：λ+μ為定值．

Answer 1

分析 （1）由對稱和直線的斜率公式，推導(dǎo)出a=2，c=$\sqrt{3}$，由此能求出橢圓的方程；
（2）依題意，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、E（-4，y₃），則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y并整理，得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的共線的坐標(biāo)表示，化簡整理進(jìn)行求解可得．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），左頂點(diǎn)為（-a，0），
由點(diǎn)A（0，-2）與橢圓左頂點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱，可得-$\frac{2}{a}$=-1，解得a=2，
由直線AF的斜率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得$\frac{2}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得c=$\sqrt{3}$，
即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）依題意，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、E（-4，y₃），
則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y并整理，得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$①，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$②，
∵$\overrightarrow{MQ}$=$λ\overrightarrow{QN}$，∴（-1-x₁，-y₁）=λ（x₂+1，y₂），
∴-1-x₁=λ（x₂+1），
∴λ=$\frac{-1-{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$，
令x=-4，可得y₃=-3k，
由$\overrightarrow{ME}$=$μ\overrightarrow{EN}$，即（-4-x₁，-3k-y₁）=μ（x₂+4，y₂+3k），
可得μ=$\frac{-4-{x}_{1}}{4+{x}_{2}}$．
∴λ+μ=$\frac{-1-{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$+$\frac{-4-{x}_{1}}{4+{x}_{2}}$=$\frac{-8-5（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{（1+{x}_{2}）（4+{x}_{2}）}$，
將①②代入上式可得λ+μ=0．
故λ+μ為定值0．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與橢圓的有關(guān)知識、求軌跡方程的方法，以及運(yùn)算求解和推理論證能力．