Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n（n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：a_n=$\frac{_{1}}{3+1}+\frac{_{2}}{{3}^{2}+1}+\frac{_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{_{n}}{{3}^{n}+1}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出；
（2）利用（1）及其遞推關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2n（n+1），
∴a₁=4，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n（n+1）-2（n-1）n=4n．
當(dāng)n=1時上式也成立，∴a_n=4n．
（2）∵a_n=$\frac{_{1}}{3+1}+\frac{_{2}}{{3}^{2}+1}+\frac{_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{_{n}}{{3}^{n}+1}$，
∴當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{_{1}}{3+1}$，解得b₁=16．
當(dāng)n≥2時，a_n-1=$\frac{_{1}}{3+1}+\frac{_{2}}{{3}^{2}+1}+\frac{_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，
可得：a_n-a_n-1=$\frac{_{n}}{{3}^{n}+1}$=4，
∴b_n=4×3ⁿ+4，當(dāng)n=1時也成立．
∴b_n=4×3ⁿ+4．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．