Question

13．點(diǎn)P（x，y）滿足平面區(qū)域：$\left\{\begin{array}{l}{cosθ≤x≤3cosθ}\\{sinθ≤y≤3sinθ}\end{array}\right.$（θ∈R），點(diǎn)M（x，y）滿足：（x+5）²+（y+5）²=1，則|$\overrightarrow{PM}$|的最小值是（　�。�

• A． 5$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$-1
• C． 6$\sqrt{2}$-1
• D． $\sqrt{61}$-1

Answer 1

分析 由不等式的性質(zhì)和參數(shù)方程的意義，得平面區(qū)域Ω是位于第一象限的扇環(huán)（含邊界），如圖所示．由此可得動點(diǎn)P位于點(diǎn)A（1，0）或B（0，1）時(shí)，點(diǎn)C到P的距離最小，且此時(shí)圓C上點(diǎn)M到P的距離達(dá)到最小值．

解答 解：∵在不等式組中cosθ≤3cosθ且sinθ≤3sinθ
∴θ滿足cosθ≥0且sinθ≥0
由此可得不等式組：$\left\{\begin{array}{l}{cosθ≤x≤3cosθ}\\{sinθ≤y≤3sinθ}\end{array}\right.$（θ∈R），
滿足1≤x²+y²≤9，且x、y都是大于或等于0，
所以平面區(qū)域Ω是位于第一象限的扇環(huán)（含邊界），如圖所示
∵圓C：（x+5）²+（y+5）²=1的圓心為C（-5，-5），半徑為1
∴當(dāng)動點(diǎn)P位于點(diǎn)A（1，0）或B（0，1）時(shí)，點(diǎn)C到P的距離最小，
得|PC|最小值為$\sqrt{（1+5）^{2}+（0+5）^{2}}$=$\sqrt{61}$
因此，當(dāng)點(diǎn)M（x，y）在圓C上運(yùn)動時(shí)，|$\overrightarrow{PM}$|的最小值為$\sqrt{61}$-1；
故選：D．

點(diǎn)評 本題給出不等式組表示的平面區(qū)域，求兩個(gè)動點(diǎn)之間距離的最小值，著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式和圓的幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．