Question

2．已知正方形的中心為直線2x-y-2=0和x+y+1=0的交點，正方形一邊所在直線的方程為x+3y-5=0，求其它三邊所在的直線方程．

Answer 1

分析 根據(jù)兩條直線相交求出正方形的中心P的坐標，根據(jù)正方形的一條邊所在的方程設出其它三邊的直線方程，再由P到正方形四條邊的距離相等列出方程，求出直線方程即可．

解答 解：根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x+y+1=0}\end{array}\right.$，
解方程組，得正方形中心坐標為P（$\frac{1}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
因為正方形一邊所在直線方程x+3y-5=0，
所以設與之平行的另一條邊所在的直線方程為x+3y+m=0，
與之垂直的另兩條邊的直線方程為3x-y+n=0；
因為中心點P（$\frac{1}{3}$，-$\frac{4}{3}$）到直線x+3y-5=0的距離為
d=$\frac{|\frac{1}{3}+3×（-\frac{4}{3}）-5|}{\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}}$=$\frac{\frac{26}{3}}{\sqrt{10}}$，
所以令$\frac{|\frac{1}{3}+3×（-\frac{4}{3}）+m|}{\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}}$=$\frac{\frac{26}{3}}{\sqrt{10}}$，
解得m=$\frac{37}{3}$或m=-5（舍去），
所以，與已知邊所在直線平行的直線方程為3x+9y+37=0；
又令$\frac{|3×\frac{1}{3}-（-\frac{4}{3}）+n|}{\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}}$=$\frac{\frac{26}{3}}{\sqrt{10}}$，
解得n=-11或n=$\frac{19}{3}$，
所以，與已知邊所在直線垂直的直線方程為
3x-y-11=0 或9x-3y+19=0；
所以，正方形其余三邊所在的直線方程為
3x+9y+37=0、3x-y-11=0和9x-3y+19=0．

點評 本題考查了兩條直線平行與垂直故選的應用問題，也考查了點到直線的距離的應用問題，是綜合性題目．