Question

11．若關(guān)于x的不等式xlnx+x-kx+3k＞0對(duì)任意x＞1恒成立，則整數(shù)k的最大值是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 把函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）+x-k（x-3）＞0，整理后對(duì)x討論，x=3，x＞3，1＜x＜3時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離，求得最值，主要是x＞3時(shí)，求其導(dǎo)函數(shù)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x₀位于（13，14）內(nèi)，且知此零點(diǎn)為函數(shù)h（x）的最小值點(diǎn)，經(jīng)求解知h（x₀）=$\frac{1}{3}$x₀，從而得到k＜$\frac{1}{3}$x₀，則正整數(shù)k的最大值可求．

解答 解：關(guān)于x的不等式xlnx+x-kx+3k＞0對(duì)任意x＞1恒成立，
即k（x-3）＜x+xlnx，
當(dāng)x=3時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)x＞3，即有k＜$\frac{xlnx+x}{x-3}$對(duì)任意x＞3恒成立．
令h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-3}$，
則h′（x）=$\frac{x-6-3lnx}{（x-3）^{2}}$，
令φ（x）=x-3lnx-6（x＞3），
則φ′（x）=1-$\frac{3}{x}$＞0，
所以函數(shù)φ（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)棣眨?3）=7-3ln13＜0，φ（14）=8-3ln14＞0，
所以方程φ（x）=0在（3，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（13，14）．
當(dāng)13＜x＜x₀時(shí)，φ（x）＜0，
即h′（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以函數(shù)h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-3}$在（13，x₀）上單調(diào)遞減，
在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[h（x）]_min=h（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+ln{x}_{0}）}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{x}_{0}（1+\frac{{x}_{0}-6}{3}）}{{x}_{0}-3}$
=$\frac{1}{3}$x₀∈（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{3}$）．
所以k＜[h（x）]_min=$\frac{1}{3}$x₀，
因?yàn)閤₀∈（13，14）．
故整數(shù)k的最大值是4；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，即有k＞$\frac{xlnx+x}{x-3}$對(duì)任意x＞3恒成立．
由于x-3＜0，可得$\frac{xlnx+x}{x-3}$＜0，即有k≥0，
綜上可得，k的最大值為4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是，在求解函數(shù)h（x）的最小值，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，屬于中檔題．