Question

20．已知平面α∥β∥γ，A、C∈α，B、D∈γ，異面直線AB和CD分別與β交于E和G，連結(jié)AD和BC分別交β于F、H．
（1）求證：$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CG}{GD}$；
（2）判斷四邊形EFGH是哪一類四邊形；
（3）若AC=BD=a，求四邊形EFGH的周長．

Answer 1

分析 （1）由面面平行的性質(zhì)定理，得出EH∥AC，EF∥BD，從而證明$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CH}{HB}$=$\frac{CG}{GD}$；
（2）由平行四邊形的定義即可判斷四邊形EFGH是平行四邊形；
（3）AC=BD=a時(shí)，四邊形EFGH是菱形，且邊長為$\frac{1}{2}$a，求出它的周長即可．

解答 解：（1）證明：如圖所示，
平面α∥β∥γ，A、C∈α，∴AC?平面α，同理EH?平面β，
∴EH∥AC，∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CH}{HB}$；
同理$\frac{CG}{GD}$=$\frac{CH}{HB}$，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CG}{GD}$；
（2）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下；
由（1）知，EH∥AC，同理FG∥AC，∴EH∥FG；
同理EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（3）當(dāng)AC=BD=a時(shí)，$\frac{EH}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{EF}{BD}$；
∴AE=EB，EH=EF=$\frac{1}{2}$a，
∴四邊形EFGH的周長為4×$\frac{1}{2}$a=2a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)注意空間中的線面平行的互相轉(zhuǎn)化，是綜合性題目．