Question

10．在三棱錐P-ABC中，AP=AC，BP=BC，E、F、M分別是PB、BC、CP的中點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面ABM．

Answer 1

分析 設(shè)EF與BM交于H，連接AH，由等腰三角形的三線合一，可得PC⊥MB，AM⊥PC，運(yùn)用線面垂直的判定定理，可得PC⊥平面BMA，AH?平面BMA，則AH⊥PC，再由EF⊥BM，運(yùn)用線面垂直和面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 證明：設(shè)EF與BM交于H，連接AH，
由M為PC的中點(diǎn)，BP=BC，
可得PC⊥MB，
由E、F分別是PB、BC的中點(diǎn)，可得EF∥PC，
即有EF⊥BM，
由AP=AC，M為PC的中點(diǎn)，可得AM⊥PC，
由PC⊥BM，可得PC⊥平面BMA，
AH?平面BMA，則AH⊥PC，
即有AH⊥EF，又EF⊥BM，
則EF⊥平面ABM，EF?平面AEF，
則平面AEF⊥平面ABM．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用面面垂直的判定定理，考查空間線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想，以及推理和邏輯能力，屬于中檔題．