【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上.
(Ⅰ)求異面直線D1E與A1D所成的角;
(Ⅱ)若平面D1EC與平面ECD的夾角大小為45°,求點(diǎn)B到平面D1EC的距離.
【答案】Ⅰ 90°;Ⅱ .
【解析】試題分析:
(Ⅰ) 方法一:用幾何法證明AB⊥平面AA1D1D可得結(jié)論;方法二:用坐標(biāo)法證明即可得到結(jié)論.(Ⅱ) 在(Ⅰ)中坐標(biāo)法的基礎(chǔ)上可得平面CED1的一個(gè)法向量為,又為平面DEC的一個(gè)法向量,根據(jù)兩平面所成角等于45°可得,然后根據(jù)線面角的定義可求得點(diǎn)到面的距離.
試題解析:
(Ⅰ)解法1:連結(jié)AD1.由從AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D,
∵AB⊥平面AA1D1D,
∴ AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影.
根據(jù)三垂線定理得A1D⊥D1E,
∴ 異面直線D1E與A1D所成的角為90°.
解法2:如圖,分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),
∴,
設(shè),則
∴,
∴ DA1⊥,
∴異面直線D1E與A1D所成的角為90°.
(Ⅱ)設(shè)為平面CED1的一個(gè)法向量,
由,可得,
令,可得.
由題意得為平面DEC的一個(gè)法向量.
∵平面D1EC與平面ECD的夾角大小為45°,
∴,
解得或(舍去).
∴.
設(shè)CB和平面D1EC所成的角為,
又,
∴點(diǎn)B到平面D1EC的距離.
即點(diǎn)B到平面D1EC的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐 (圖1)的三視圖如圖2所示,為正三角形,垂直底面,俯視圖是直角梯形.
圖1 圖2
(1)求正視圖的面積;
(2)求四棱錐的體積;
(3)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù),且0≤<2π),曲線l的極坐標(biāo)方程為ρ= (k是常數(shù),且k∈R).
(1)求曲線C的普通方程和曲線l直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線l被曲線C截的弦是以( ,1)為中點(diǎn),求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知m=3 sinxdx,則二項(xiàng)式(a+2b﹣3c)m的展開式中ab2cm﹣3的系數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)及函數(shù)(a,b,c∈R),若a>b>c且a+b+c=0.
(1)證明:f(x)的圖像與g(x)的圖像一定有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)請(qǐng)用反證法證明:;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=-x2+2x+b.
(1)若f(x)++1≥0對(duì)任意的x∈[1,3]恒成立,求m的取值范圍;
(2)若x1,x2∈[1,3],對(duì)任意的x1,總存在x2,使得f(x1)=g(x2),求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, )為奇函數(shù),且相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)α∈R,n∈[0,2],向量 =(2n+3cosα,n﹣3sinα)的長(zhǎng)度不超過(guò)6的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(m+x)(1+x)3的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為16,則 xmdx= .
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