Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M是棱AB的中點(diǎn)，求C₁M與平面BCD₁A₁所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：以D為原點(diǎn)，DAx軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出C₁M與平面BCD₁A₁所成的角．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，DAx軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
則C₁（0，2，2），M（2，1，0），
B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），

BC

=（-2，0，0），

BD1

=（-2，-2，2），

C1M

=（2，-1，2），
設(shè)平面BCD₁A₁的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • BC =-2x=0 n • BD1 =-2x-2y+2z=0

，取y=1，得

n

=（0，1，1），
設(shè)C₁M與平面BCD₁A₁所成的角為θ，
sinθ=|cos＜

C1M

，

n

＞|=

| C1M • n |

| C1M |•| n |

=

1

3 2

=

2

6

．
∴C₁M與平面BCD₁A₁所成的角為arcsin

2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．