Question

11．當(dāng)x→0時，下列4個無窮小量中比其它3個更高階的無窮小量是（　�。�

• A． 1n（1+x）
• B． e^x-1
• C． tanx-sinx
• D． 1-cosx

Answer 1

分析 運用高階無窮小的定義分別構(gòu)造極限$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^n}$，從而確定各函數(shù)的階數(shù)．

解答 解：根據(jù)高階無窮小的定義，若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^n}$=C（C為非零常數(shù)），
則f（x）是x的n階無窮小量，根據(jù)此定義，考察各選項如下：
對于A選項：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{ln（1+x）}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{x+1}$=1，所以ln（x+1）的階數(shù)為1；
對于B選項：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$e^x=1，所以e^x-1的階數(shù)為1；
對于C選項：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{x^3}$=$\underset{lim}{x→0}$[$\frac{1}{3}$•$\frac{sinx}{x}$•$\frac{1}{cos^3x}$+$\frac{1}{6}$•$\frac{sinx}{x}$]=$\frac{1}{2}$，所以tanx-sinx的階數(shù)為3；
對于D選項：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cosx}{x^2}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x^2}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin^2\frac{x}{2}}{2•（\frac{x}{2}）^2}$=$\frac{1}{2}$，所以1-cosx的階數(shù)為2，
故答案為：C．

點評 本題主要考查了高階無窮小的定義及其應(yīng)用，涉及極限得運算和洛必達法則的應(yīng)用，屬于中檔題．