Question

2．有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長(zhǎng)為30cm的正方形截去一個(gè)三角形ABF所得的五邊形ABCDE，其中AF=8cm，BF=6cm，如圖所示．現(xiàn)在需要用這塊材料截取矩形鐵皮DMPN，使得矩形相鄰兩邊分別落在CD，DE上，另一頂點(diǎn)P落在邊CB或BA邊上．設(shè)DM=xcm，矩形DMPN的面積為ycm²．
（1）試求出矩形鐵皮DMPN的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；
（2）試問(wèn)如何截�。�即x取何值時(shí)），可使得到的矩形DMPN的面積最大？

Answer 1

分析 （1）依據(jù)題意并結(jié)合圖形，可知：1⁰當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上；2⁰當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上，分別求解函數(shù)的解析式．
（2）利用（1）知，當(dāng)0＜x≤24時(shí)，當(dāng)24＜x≤30時(shí)，分別求解函數(shù)的最大值即可

解答 解：（1）依據(jù)題意并結(jié)合圖形，可知：
1⁰當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上，即0＜x≤24時(shí)，y=30x；
2⁰當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上，即24＜x≤30時(shí)，
由PQ：QA=BF：FA，得QA=40-$\frac{4}{3}$x．
于是，y=DM•PM=DM•EQ=62x-$\frac{4}{3}$x²．
所以，y=$\left\{\begin{array}{l}30x，0＜x≤24\\ 62x-\frac{4}{3}{x}^{2}，24＜x≤30\end{array}\right.$，定義域D=（0，30]．
（2）由（1）知，當(dāng)0＜x≤24時(shí)，0＜y≤720；
當(dāng)24＜x≤30時(shí)，y=62x-$\frac{4}{3}$x²=-$\frac{4}{3}$（x-$\frac{93}{4}$）²+$\frac{2883}{4}$≤$\frac{2883}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{93}{4}$時(shí)，等號(hào)成立．
但$\frac{93}{4}$∉（24，30]，
故當(dāng)x=24時(shí)，y的最大值為720，
答：先在DE上截取線段DM=24cm，所得矩形面積最大，最大面積為720cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，分段函數(shù)的解析式以及最值的求解，考查計(jì)算能力．