Question

11．設函數(shù)f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a
（1）當a=0，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當m=2時，若函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，由f（x）≥h（x），得x²-mlnx≥x²-x，分離出參數(shù)m后構造函數(shù)轉化為求函數(shù)最值，利用導數(shù)可求得函數(shù)最小值即可得到m的取值范圍；
（2）求出k（x）的解析式，由k′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$．可知當x=2時，函數(shù)k（x）取得最小值．函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在區(qū)間[1，3]上恰有兩個不同的零點，必需$\left\{\begin{array}{l}{k（1）≥0}\\{k（2）＜0}\\{k（3）≥0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）當a=0時，h（x）=x²-x，則f（x）≥h（x），
即x²-mlnx≥x²-x，化簡得mlnx≤x，
∵x＞1，∴l(xiāng)nx＞0，
∴m≤$\frac{x}{lnx}$恒成立，該不等式等價于m≤$\frac{x}{lnx}$的最小值，
令u（x）=$\frac{x}{lnx}$，u′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
由u'（x）＞0，得 x＞e，由u'（x）＜0，得0＜x＜e，
∴u（x）在（e、+∞）上遞增，在（0，e）上遞減，
∴u（x）_min=u（e）=e，
即有m≤e；
（2）k（x）=x²-2lnx-（x²-x+a）=x-2lnx-a（x∈[1，3]），
k′（x）=1-$\frac{2}{x}$．
當x∈[1，2）時，k′（x）＜0，函數(shù)k（x）單調遞減；
當x∈（2，3]時，k′（x）＞0，函數(shù)k（x）單調遞增．
∴當x=2時，函數(shù)k（x）取得最小值，k（2）=2-2ln2-a．
∵函數(shù)k（x）=f（x）-h（x）在區(qū)間[1，3]上恰有兩個不同的零點，
即有k（x）在[1，2}和（2，3]內，各有一個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k（1）≥0}\\{k（2）＜0}\\{k（3）≥0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥0}\\{2-2ln2-a＜0}\\{3-2ln3-a≥0}\end{array}\right.$，
解得2-2ln2＜a≤3-2ln3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題、應用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查轉化思想，對恒成立問題往往轉化為函數(shù)最值或分離出參數(shù)后求函數(shù)最值解決，同時考查零點存在定理的運用，屬于中檔題．