Question

20．已知F₁是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點，點B的坐標為（0，b），直線F₁B與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，若$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出P，Q的坐標，利用$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，k_PQ=$\frac{c}$．
∴直線PQ為：y=$\frac{c}$（x+c），與y=$\frac{a}$x．聯(lián)立得：Q（$\frac{ac}{c-a}$，$\frac{bc}{c-a}$）；
與y=-$\frac{a}$x．聯(lián)立得：P（-$\frac{ac}{c+a}$，$\frac{bc}{c+a}$）．
∵$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{P{F}_{1}}$，
∴-$\frac{ac}{c+a}$-$\frac{ac}{c-a}$=4（-c+$\frac{ac}{c+a}$），
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線C的離心率，考查學生的計算能力，確定P，Q的坐標是關鍵．