Question

7．已知公比為q（0＜q＜1）的等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，前三項(xiàng)的和為7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=a₁•a₂•…•a_n，求使0＜b_n＜1的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出；
（2）b_n=a₁•a₂•…•a_n=${2}^{\frac{n（5-n）}{2}}$．由0＜b_n＜1．利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵a₂=2，前三項(xiàng)的和為7．∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q=7}\end{array}\right.$，化為2q²-5q+2=0，0＜q＜1，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$=$2×（\frac{1}{2}）^{n-2}$=2^3-n
（2）b_n=a₁•a₂•…•a_n=2^{2+1+…+（3-n）}=${2}^{\frac{n（5-n）}{2}}$．
由0＜${2}^{\frac{n（5-n）}{2}}$＜1．
可得$\frac{n（5-n）}{2}$＜0，
解得n＞5，
∴使0＜b_n＜1的正整數(shù)n的最小值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．