Question

1．設(shè)a為實數(shù)．函數(shù)f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）上是增函數(shù)．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到一個二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)令f'（x）≥0在（-∞，0）恒成立即可得到結(jié)論．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+（a²-1），其判別式△=4a²-12a²+12=12-8a²．
①若△=12-8a²≤0，即a²≥$\frac{3}{2}$，即a≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
恒有f′（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，此時滿足條件．
即a∈（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）；
②若△12-8a²＞0，即-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
令f′（x）=0，
解得x₁=$\frac{a-\sqrt{3-2a^{2}}}{3}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{3-2a^{2}}}{3}$．
當(dāng)x∈（-∞，x₁），或x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
要使f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）上是增函數(shù)．
則x₁≥0得a≥$\sqrt{3-2a^{2}}$，解得1≤a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
綜上a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥1．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立是解決本題的關(guān)鍵．注意要對判別式△進(jìn)行討論．