Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+2|．
（1）若不等式f（x）≥|m-1|有解，求實(shí)數(shù)m的最小值M；
（2）在（1）的條件下，若正數(shù)a，b滿足3a+b=-M，證明：$\frac{3}$+$\frac{1}{a}$≥3．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得f（x）的最小值，從而求得實(shí)數(shù)m的最小值M．
（2）由題意可得即 $\frac{3a+b}{4}$=1，故有 $\frac{3}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{\frac{3（3a+b）}{4}}$+$\frac{\frac{3a+b}{4}}{a}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{9a}{4b}$+$\frac{4a}$，再利用基本不等式證得$\frac{3}$+$\frac{1}{a}$≥3．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+2|表述數(shù)軸上的x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
它的最小值為-5，最大值為5，
（1）若不等式f（x）≥|m-1|有解，則5≥|m-1|，即-5≤m-1≤5，求得-4≤m≤6，故實(shí)數(shù)m的最小值M=-4．
（2）在（1）的條件下，若正數(shù)a，b滿足3a+b=-M=4，即 $\frac{3a+b}{4}$=1，
∴$\frac{3}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{\frac{3（3a+b）}{4}}$+$\frac{\frac{3a+b}{4}}{a}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{9a}{4b}$+$\frac{4a}$≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{9a}{4b}•\frac{4a}}$+3=$\frac{3}{2}$+2•$\frac{3}{4}$=3，
即 $\frac{3}$+$\frac{1}{a}$≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，函數(shù)的能成立問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．