Question

7．已知函數(shù)f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinx•cosx．
（1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的值域；
（2）用五點法在圖中作出y=f（x）在閉區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的簡圖；
（3）說明f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到？

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域即可得解．
（2）用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinx•cosx
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
（2）列表：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
y	0	2	0	-2	0

作圖：

（3）把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，可得函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象上點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，可得函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象上的點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．