Question

8．設數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{4{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$，當首項a₁=$\frac{7}{10}$時，此數(shù)列只有10項．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，得到${a}_{n}=\frac{9}{4-{a}_{n+1}}-2$．由數(shù)列{a_n}只有10項，可得a₁₀=-2．依次由變形后的遞推式求得首項得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{4{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{4（{a}_{n}+2）-9}{{a}_{n}+2}$=$4-\frac{9}{{a}_{n}+2}$，得
${a}_{n}=\frac{9}{4-{a}_{n+1}}-2$．
若數(shù)列{a_n}只有10項，則a₁₀=-2．
∴${a}_{9}=\frac{9}{6}-2=-\frac{1}{2}$，${a}_{8}=\frac{9}{\frac{9}{2}}-2=0$，${a}_{7}=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}$，
${a}_{6}=\frac{9}{\frac{15}{4}}-2=\frac{2}{5}$，${a}_{5}=\frac{9}{\frac{18}{5}}-2=\frac{1}{2}$，${a}_{4}=\frac{9}{\frac{7}{2}}-2=\frac{4}{7}$，
${a}_{3}=\frac{9}{\frac{24}{7}}-2=\frac{5}{8}$，${a}_{2}=\frac{9}{\frac{27}{8}}-2=\frac{2}{3}$，${a}_{1}=\frac{9}{\frac{10}{3}}-2=\frac{7}{10}$．
故答案為：$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查計算能力，對題意的理解是解答該題的關鍵，是中檔題．