Question

10．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（1）當a=3時，求方程f（$\frac{27}{x}$）f（3x）=-5的解；
（2）若f（3a-1）＞f（a），求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=$\frac{1}{2}$時，設g（x）=f（x）-3^x+4，求證：對任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0對x∈（λμ，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （1）當a=3時，f（x）=log₃x，f（$\frac{27}{x}$）f（3x）=（log₃27-log₃x）（log₃3+log₃x）=（3-log₃x）（1+log₃x）=-5，解得答案；
（2）分討論滿足不等式f（3a-1）＞f（a）=1的a的范圍，綜合討論結果，可得答案；
（3）當a=$\frac{1}{2}$時，g（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$-3^x+4為減函數(shù)，且g（x）＜0對x∈（2，+∞）恒成立．進而得到答案．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）=log₃x，
∴f（$\frac{27}{x}$）f（3x）=（log₃27-log₃x）（log₃3+log₃x）=（3-log₃x）（1+log₃x）=-5，
解得：log₃x=4，或log₃x=-2，
解得：x=81，或x=$\frac{1}{9}$；
（2）∵f（3a-1）＞f（a）=1，
①當0＜a＜1時，0＜3a-1＜a，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
②當a＞1時，3a-1＞a，解得：a＞1，
綜上可得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，或a＞1；
證明：（3）當a=$\frac{1}{2}$時，g（x）=f（x）-3^x+4=${log}_{\frac{1}{2}}x$-3^x+4為減函數(shù)，
由g（2）=-1-9+4=-6＜0，
故g（x）＜0對x∈（2，+∞）恒成立．
故對任意λ＞0，都存在μ=$\frac{2}{λ}$＞0，使得λμ=2，
即對任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0對x∈（λμ，+∞）恒成立．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．