Question

10．已知各項皆為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}（n∈N^*），滿足a₇=a₆+2a₅，若存在兩項a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的通項公式可得m+n=6，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)各項皆為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0（n∈N^*），∵a₇=a₆+2a₅，∴${a}_{5}{q}^{2}$=a₅q+2a₅，
化為q²-q-2=0，解得q=2．
∵存在兩項a_m、a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=4{a_1}$，
∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{2}^{m+n-2}}$=4a₁，
∴2^m+n-2=2⁴，
∴m+n=6．
則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}（m+n）$$（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）$=$\frac{1}{6}$$（5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}）$≥$\frac{1}{6}（5+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}）$=$\frac{3}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4時取等號．
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．