Question

1．如圖，在△ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0，∠A的平分線所在的直線方程為y=0，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求：
（Ⅰ）點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（Ⅱ）△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AB的斜率，得到直線AC的方程，從而求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）求出|BC|的長(zhǎng)，再求出A到BC的距離，從而求出三角形的面積即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ y=0.\end{array}\right.$得頂點(diǎn)A（-1，0）．-------（1分）
又AB的斜率 k_AB=$\frac{2-0}{1-（-1）}$=1．-------------------------------（2分）
∵x軸是∠A的平分線，
故AC的斜率為-1，AC所在直線的方程為y=-（x+1）①------（4分）
已知BC上的高所在直線的方程為x-2y+1=0，故BC的斜率為-2，
BC所在的直線方程為y-2=-2（x-1）②--------------（6分）
解①，②得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，-6）．----------（7分）
（Ⅱ）$|{BC}|=\sqrt{{{（{1-5}）}^2}+{{（{2+6}）}^2}}=4\sqrt{5}$------------------（8分）
又直線BC的方程是2x+y-4=0
A到直線的距離$d=\frac{{|{-2-4}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{6}{{\sqrt{5}}}$-----------------------------（10分）
所以△ABC 的面積=$\frac{1}{2}|{BC}|•d=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\frac{6}{{\sqrt{5}}}=12$------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了求直線的斜率、方程問(wèn)題，考察點(diǎn)到直線的距離公式，是一道中檔題．