Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，M為AB的中點(diǎn)．
（1）在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面PAD？證明你的結(jié)論；
（2）求證：平面PMC⊥平面PCD；
（3）當(dāng)$\frac{AB}{AD}$取何值，平面PAD與平面PMC所成的銳二面角為45°？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)N為側(cè)棱PC中點(diǎn)時(shí)，有MN∥平面PAD．取PD的中點(diǎn)E，連AE、EQ．只需證明平面PAD外的直線MN平行于平面PAD內(nèi)的直線AE，即可．
（2）要證平面PBC⊥平面PCD，只需證明AE垂直平面PAD即可；
（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （1）解：當(dāng)N為側(cè)棱PC中點(diǎn)時(shí)，有MN∥平面PAD．
證明如下：如圖，取PD的中點(diǎn)E，連AE、EN．
∵N為PC中點(diǎn)，則EN為△PCD的中位線，
∴EN∥CD且EN=$\frac{1}{2}$CD．
∵AB∥CD且AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴EN∥AMEN=AM，
∴四邊形AMNE為平行四邊形，則MN∥A
∵M(jìn)N?平面PAD，AE?平面PA
∴MN∥平面PAD．
（2）證：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E為PD中點(diǎn)，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD．
∵M(jìn)N?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．
（3）延長(zhǎng)DA，CM交于F，連接PF，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，AM∥CD
∴A是DF的中點(diǎn)，
∵E是PD的中點(diǎn)
∴AE是△PDF的中位線，
∴AE∥PF，
∵AE⊥平面PCD，
∴PF⊥平面PCD，
則PF⊥PD，PF⊥PC，
即∠CPD是平面PAD與平面PMC所成的平面角，
若平面PAD與平面PMC所成的銳二面角為45°，
則∠CPD=45°，
在直角三角形PDC中，
CD=PD，
∵PA=AD，
∴CD=PD=$\sqrt{2}$AD，
即AB=$\sqrt{2}$AD，
則$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$，
即$\frac{AB}{AD}$=$\sqrt{2}$時(shí)，平面PAD與平面PMC所成的銳二面角為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行，面面垂直的判斷以及二面角的應(yīng)用，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及二面角的定義通過(guò)作輔助線，作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理證明能力．本題也可以建立坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解．