Question

12．設(shè)$f（x）=2cosx（\sqrt{3}sinx-cosx）+2$．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，$BC=\sqrt{6}，sinC=2sinB$，若f（x）的最大值為f（A），求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由題意可得2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=3，解得A=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$，又由已知及正弦定理可得c=2b，利用余弦定理即可解得b，c的值，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=2cosx（\sqrt{3}sinx-cosx）+2$
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+2
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ$-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1的最大值為f（A），
∴f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=3，解得：2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：A=k$π+\frac{π}{3}$，k∈Z．
∵A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$，
∵$BC=\sqrt{6}，sinC=2sinB$，利用正弦定理可得：c=2b，
∴由余弦定理a²=c²+b²-2bccosA，可得：6=c${\;}^{2}+^{2}-2bc×\frac{1}{2}$=4b²+b²-b×2b=3b²，解得：b=$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．