Question

2．一個公司的一款新產(chǎn)品有若干銷售店，為了解該產(chǎn)品的廣告投入費用與銷售額間的關(guān)系，該公司抽取了其中的五個銷售店作為樣本，統(tǒng)計出它們的廣告投入費用x與銷售額y，如下表：

x（萬元）	2	4	5	6	8
y（萬元）	30	40	60	50	70

（1）求銷售額y對廣告費用x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）設k=$\frac{銷售額}{廣告費}$，若k≥10，則稱該店為“盈利店”，把上述樣品中“盈利店”的頻率視作一個店是“盈利店”的概率，現(xiàn)另外再調(diào)查3個銷售店，記這三個店中“盈利店”的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出b，a，即可求銷售額y對廣告費用x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）由題意，“盈利店”共3個，“盈利店”的概率為$\frac{3}{5}$，X可取0，1，2，3，求出相應的概率，即可求X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）由題意，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+60+50+70）=50，
∴b=$\frac{60+160+300+300+560-5×5×50}{4+16+25+36+64-5×{5}^{2}}$=6.5，
∴50=6.5×5+a，
∴a=17.5，
∴y=6.5x+17.5；
（2）由題意，“盈利店”共3個，“盈利店”的概率為$\frac{3}{5}$，
X可取0，1，2，3，則P（X=0）=$\frac{8}{125}$，P（X=1）=C₃¹•（$\frac{3}{5}$）•（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，P（X=2）=C₃²•（$\frac{3}{5}$）²•（$\frac{2}{5}$）=$\frac{54}{125}$，
P（X=3）=C₃³•（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
∴X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

數(shù)學期望EX=0×$\frac{8}{125}$+1×$\frac{36}{125}$+2×$\frac{54}{125}$+3×$\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查回歸分析的初步應用，考查分布列和數(shù)學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．