Question

17．已知sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x²-ax+a=0的兩個(gè)根．求：
（1）sin³θ+cos³θ；
（2）tanθ+cotθ．（注cotθ=$\frac{1}{tanθ}$）

Answer 1

分析 （1）由條件利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得sinθ+cosθ 和sinθ•cosθ 的值，再利用立方和公式求得sin³θ+cos³θ的值．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得a的值，從而得出結(jié)論．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanθ+cotθ的值．

解答 解：由于sinθ、cosθ是關(guān)于x的方程x²-ax+a=0的兩個(gè)根，∴sinθ+cosθ=a，sinθ•cosθ=a，
∴1+2a=a²，求得a=1+$\sqrt{2}$（舍去），或a=1-$\sqrt{2}$．
∴（1）sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ ）（1-sinθ•cosθ ）=a•（1-a）=1-$\sqrt{2}$-（3-2$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-2．
（2）tanθ+cotθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$+$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{1}{sinθcosθ}$=$\frac{1}{a}$=-1-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．