Question

5．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為等腰三角形，且平面B₁BCC₁⊥平面ABC，C₁B⊥BC；M是線段AB上的點，且∠ACM=∠BCM=60°，CA=CB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$C₁B．
（1）求證：AC₁⊥CM；
（2）求直線CC₁與平面B₁CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知推導出CM⊥AB，CM⊥C₁B，由此能證明AC₁⊥CM．
（2）以B為原點，BC為x軸，過B在平面ABC內作BC的垂線為y軸，BC₁為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出直線CC₁與平面B₁CM所成角的余弦值．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為等腰三角形，且平面B₁BCC₁⊥平面ABC，C₁B⊥BC，
M是線段AB上的點，且∠ACM=∠BCM=60°，CA=CB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$C₁B，
∴C₁B⊥底面ABC，CM⊥AB，∴CM⊥C₁B，
又AB∩C₁B=B，∴CM⊥平面ABC₁，
∵AC₁?平面ABC₁，∴AC₁⊥CM．
解：（2）設AC=BC=1，則BC₁=$\sqrt{3}$，CC₁=2，∠BCC₁=60°，
以B為原點，BC為x軸，過B在平面ABC內作BC的垂線為y軸，BC₁為z軸，建立空間直角坐標系，
C（1，0，0），C₁（0，0，$\sqrt{3}$），
B₁（-1，0，$\sqrt{3}$），M（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（-2，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CM}$=（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0），
設平面B₁CM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=-2x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{4}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
設直線CC₁與平面B₁CM所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{C{C}_{1}}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|-\sqrt{3}+2\sqrt{3}|}{\sqrt{4}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{8}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{58}}{8}$．
∴直線CC₁與平面B₁CM所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{58}}{8}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．