Question

12．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且其縱坐標(biāo)為4，|PF|=4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（y_i≤0，i=1，2）是拋物線上的兩點，∠APB的角平分線與x軸垂直，求直線AB的斜率；
（3）在（2）的條件下，若直線AB過點（1，-1），求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的準(zhǔn)線方程，求得P的坐標(biāo)，運用拋物線的定義，可得p的方程，解方程可得p，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（2）由題意可得A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$，y₂），P（2，4），由題意可得直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，運用直線的斜率公式即可得到所求直線的斜率；
（3）運用點斜式方程，可得直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得交點坐標(biāo)，由兩點的距離公式，計算即可得到所求．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得P（$\frac{8}{p}$，4），由拋物線的定義可得|PF|=$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=4，即有拋物線的方程為y²=8x；
（2）由題意可得A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$，y₂），P（2，4），
∠APB的角平分線與x軸垂直，可得直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，
即有k_PA+k_PB=0，即$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}-2}$+$\frac{{y}_{2}-4}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}-2}$=0，
化簡可得y₁+y₂=-8，
則直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{8}{-8}$=-1；
（3）直線AB的方程為y+1=-（x-1），即為y=-x，
代入拋物線的方程y²=8x，
可得x²=8x，解得交點為（0，0），（8，-8），
即有弦長為$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程的運用，以及直線的斜率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．