Question

12．已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，|PF|=4．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（y_i≤0，i=1，2）是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，∠APB的角平分線(xiàn)與x軸垂直，求直線(xiàn)AB的斜率；
（3）在（2）的條件下，若直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)（1，-1），求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，求得P的坐標(biāo)，運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義，可得p的方程，解方程可得p，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)的方程；
（2）由題意可得A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$，y₂），P（2，4），由題意可得直線(xiàn)PA，PB的斜率互為相反數(shù)，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式即可得到所求直線(xiàn)的斜率；
（3）運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，可得直線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得P（$\frac{8}{p}$，4），由拋物線(xiàn)的定義可得|PF|=$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=4，即有拋物線(xiàn)的方程為y²=8x；
（2）由題意可得A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$，y₂），P（2，4），
∠APB的角平分線(xiàn)與x軸垂直，可得直線(xiàn)PA，PB的斜率互為相反數(shù)，
即有k_PA+k_PB=0，即$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}-2}$+$\frac{{y}_{2}-4}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}-2}$=0，
化簡(jiǎn)可得y₁+y₂=-8，
則直線(xiàn)AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{8}{-8}$=-1；
（3）直線(xiàn)AB的方程為y+1=-（x-1），即為y=-x，
代入拋物線(xiàn)的方程y²=8x，
可得x²=8x，解得交點(diǎn)為（0，0），（8，-8），
即有弦長(zhǎng)為$\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，考查直線(xiàn)方程的運(yùn)用，以及直線(xiàn)的斜率公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．