Question

3．（Ⅰ）已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，1），$\overrightarrow$=（-1，$\frac{1}{2}$），若$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，求實數(shù)λ；
（Ⅱ）已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$分別表示向量$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）進行向量坐標的數(shù)乘和加法運算即可求出$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$的坐標，根據(jù)$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直便有$（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0$，這樣即可建立關(guān)于λ的方程，從而解出λ；
（Ⅱ）可畫出圖形，根據(jù)向量數(shù)乘、減法的幾何意義以及向量的數(shù)乘運算便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{BC}$．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$=（3，1），$\overrightarrow=（-1，\frac{1}{2}）$，則：$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow=（3-λ，1+\frac{λ}{2}）$；
若$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，$（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0$；
即：$9-3λ+1+\frac{λ}{2}=0$，解得：λ=4；
（Ⅱ）如圖，

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow$．

點評 考查向量坐標的加法和數(shù)乘運算，以及向量垂直的充要條件，向量的數(shù)量積的坐標運算，向量的數(shù)乘和減法的幾何意義，以及相反向量的概念．