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10.設$α,β∈(0,\frac{π}{2})$且$tanα-tanβ=\frac{1}{cosβ}$,則( 。
A.$3α+β=\frac{π}{2}$B.$2α+β=\frac{π}{2}$C.$3α-β=\frac{π}{2}$D.$2α-β=\frac{π}{2}$

分析 由題意和三角函數公式變形可得cosα=cos[$\frac{π}{2}$-(α-β)],由角的范圍和余弦函數的單調性可得.

解答 解:∵$tanα-tanβ=\frac{1}{cosβ}$,∴$\frac{sinα}{cosα}$-$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1}{cosβ}$,
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$,
∴sinαcosβ=cosα(1+sinβ)=cosα+cosαsinβ,
∴cosα=sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)
由誘導公式可得cosα=sin(α-β)=cos[$\frac{π}{2}$-(α-β)],
∵$α,β∈(0,\frac{π}{2})$,∴[$\frac{π}{2}$-(α-β)]∈(0,π),
∴α=$\frac{π}{2}$-(α-β),變形可得2α-β=$\frac{π}{2}$,
故選:D.

點評 本題考查三角函數恒等變換,熟練應用三角函數公式是解決問題的關鍵,屬中檔題.

練習冊系列答案
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