Question

13．設F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1的左、右焦點．若點P在橢圓上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=6．

Answer 1

分析 由題意方程求出2a及c²，由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可知△PF₁F₂為直角三角形，由勾股定理求出$|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|=14$．然后求|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|²，則答案可求．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1，得a=4，
c²=a²-b²=9，
又$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}=4{c}^{2}$，
即$（|\overrightarrow{P{F}_{1}}|+|\overrightarrow{P{F}_{2}}|）^{2}-$$2|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|=36$，
∴4×16-2$|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|=36$，即$|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|=14$．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|²=$|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+$2$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$
=$（|\overrightarrow{P{F}_{1}}|+|\overrightarrow{P{F}_{2}}|）^{2}-2|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|$=4a²-2×14=36．
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=6．
故答案為：6．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應用，求解與焦點三角形有關的問題，常利用定義和余弦定理解決，是中檔題．