Question

12．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（sin$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，已知A=$\frac{π}{3}$，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積公式及三角函數(shù)公式化簡f（x）．
（2）求出B的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得出f（B）的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$sin$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$=sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=2π．
（2）f（B）=sin（B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵△ABC是銳角三角形，A=$\frac{π}{3}$，∴B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（B）取得最大值$\frac{3}{2}$，
B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時，f（B）取得最小值$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
∴f（B）的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及化簡求值，要記住常用公式及解題步驟，屬于中檔題．