Question

4．學(xué)校開(kāi)展陽(yáng)光體育活動(dòng)，對(duì)學(xué)生的鍛練時(shí)間進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，從中隨機(jī)抽取男、女生各25名進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：

鍛練時(shí)間	男生	女生	合計(jì)
少于1小時(shí)	5	15	20
不少于1小時(shí)	20	10	30
合  計(jì)	25	25	50

（Ⅰ） 根據(jù)上表數(shù)據(jù)求x，y，并據(jù)此資料分析：有多大的把握可以認(rèn)為“鍛練時(shí)間與性別有關(guān)”？
（Ⅱ） 從這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人為樣本，求從該樣本中任取2人，
至少有1人鍛練時(shí)間少于1小時(shí)的概率．
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥K0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對(duì)立檢驗(yàn)的表格法則，填寫(xiě)表格，可得x，y，利用公式求出得K²，推出有99.5%以上的把握認(rèn)為“鍛練時(shí)間與性別有關(guān)”．
（Ⅱ）用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，得到抽取了鍛練時(shí)間少于1小時(shí)2人，不少于1小時(shí)3人，分別記作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃．寫(xiě)出基本事件的情況，其至少有1人的鍛練時(shí)間少于1小時(shí)的基本事件的情況，然后求解概率．

解答 本題滿分（12分）．
解：（Ⅰ）

鍛練時(shí)間	男生	女生	合計(jì)
少于1小時(shí)	5	15	20
不少于1小時(shí)	20	10	30
合  計(jì)	25	25	50

x=15，y=20  …（2分）
由已知數(shù)據(jù)得K²=$\frac{50（{5×10-20×15）}^{2}}{20×30×25×25}$≈8.333＞7.879…（4分）
所以有99.5%以上的把握認(rèn)為“鍛練時(shí)間與性別有關(guān)”…（6分）
（Ⅱ）用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，所以抽取了鍛練時(shí)間少于1小時(shí)2人，不少于1小時(shí)3人，分別記作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃．
從中任取2人的所有基本事件共10個(gè)：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₁，A₂），（B₁，B₂），（B₂，B₃），（B₁，B₃）．…（8分）
其中至少有1人的鍛練時(shí)間少于1小時(shí)的基本事件有7個(gè)：（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₁，A₂）．…（10分）
∴從中任取2人，至少有1人的鍛練時(shí)間少于1小時(shí)的概率為$\frac{7}{10}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)立檢驗(yàn)，古典概型的概率的求法，考查計(jì)算能力．