Question

20．如圖，在圓C中，是不是只需知道圓C的半徑或弦AB的長(zhǎng)度，就可以求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值？

Answer 1

分析 由題意設(shè)$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為θ，取AB中點(diǎn)M，連結(jié)CM，則CM⊥AB，根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求出．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為θ，取AB中點(diǎn)M，連結(jié)CM，則CM⊥AB，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosθ=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，
∴$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的值只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)，與半徑無(wú)關(guān)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量的運(yùn)算，以及三角函數(shù)中，角與邊的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．