Question

11．己知函數(shù)f（x）=2x+$\frac{1}{x}$．
（1）求證：函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若對(duì)于任意的x∈[3，4]，不等式f（x）＜m+log${\;}_{\frac{1}{3}}$（2x+1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到x≥1，f′（x）＞0，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m＞2x+$\frac{1}{x}$+${log}_{3}^{（2x+1）}$對(duì)x∈[3，4]恒成立，求出函數(shù)y=2x+$\frac{1}{x}$+${log}_{3}^{（2x+1）}$的最大值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=2-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
x≥1時(shí)，f′（x）＞0在[1，+∞）恒成立，
故函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）對(duì)于任意的x∈[3，4]，不等式f（x）＜m+log${\;}_{\frac{1}{3}}$（2x+1）恒成立
?m＞2x+$\frac{1}{x}$+${log}_{3}^{（2x+1）}$對(duì)x∈[3，4]恒成立，
而y=2x+$\frac{1}{x}$+${log}_{3}^{（2x+1）}$在x=4時(shí)取得最大值，最大值為：$\frac{41}{4}$，
故m＞$\frac{41}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．