Question

18．橢圓3x²+4y²=12的弦AB不過原點，P（2，1），AB被直線OP平分，求△PAB面積的最大值時，直線AB的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B的中點坐標(biāo)，由中點在OP上求得k值，得到AB方程，由弦長公式求得AB的長度，再由點到直線的距離公式求出P到AB的距離，求出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出使三角形面積取得最值的m值，則直線方程可求．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M．
當(dāng)直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，舍去；
故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m（m≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，①
則△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$k•\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}+2m=\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
線段AB的中點M（$\frac{-4km}{3+4{k}^{2}}，\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$）．
∵M(jìn)在直線OP上，
∴$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}=\frac{1}{2}•\frac{-4km}{3+4{k}^{2}}$，得m=0（舍去）或k=-$\frac{3}{2}$．
此時方程①為3x²-3mx+m²-3=0，則
△=3（12-m²）＞0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}\sqrt{{m}^{2}-\frac{4{m}^{2}-12}{3}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}\sqrt{\frac{12-{m}^{2}}{3}}$
設(shè)點P到直線AB的距離為d，則d=$\frac{|8-2m|}{\sqrt{13}}$．
設(shè)△ABP的面積為S，則S=|AB|•d=$\frac{\sqrt{13}}{2}•\sqrt{\frac{12-{m}^{2}}{3}}$•$\frac{|8-2m|}{\sqrt{13}}$=$\sqrt{\frac{（12-{m}^{2}）（4-m）^{2}}{3}}$，其中m∈（-2，0）∪（0，2）．
令u（m）=（12-m²）（m-4）²，m∈（-2，0）∪（0，2）．
u′（m）=-4（m-4）（m²-2m-6）=-4（m-4）（m-1-$\sqrt{7}$）（m-1+$\sqrt{7}$）．
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=1-$\sqrt{7}$時，u（m）取到最大值．
故當(dāng)且僅當(dāng)m=1-$\sqrt{7}$，S取到最大值．
綜上，所求直線l方程為3x+2y+2$\sqrt{7}$-2=0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了橢圓中三角形面積最值的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬壓軸題．