Question

9．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，面積為S，若S≥$\frac{1}{2}$ab，b²+ac=a²+c²，則a：b：c等于（　�。�

• A． 3：4：5
• B． 1：1：$\sqrt{2}$
• C． 1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• D． 1：$\sqrt{3}$：2

Answer 1

分析 利用三角形面積公式表示出S，代入已知不等式確定出sinC的值，進(jìn)而求出C度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，求出B的度數(shù)，進(jìn)而確定出A的度數(shù)，求出a，b，c的比值即可．

解答 解：∵S=$\frac{1}{2}$absinC，且S≥$\frac{1}{2}$ab，
∴$\frac{1}{2}$absinC≥$\frac{1}{2}$ab，即sinC≥1，
∵-1≤sinC≤1，
∴sinC=1，即C=$\frac{π}{2}$，
∵b²+ac=a²+c²，即a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
在Rt△ABC中，A=$\frac{π}{6}$，即a=$\frac{1}{2}$c，
則a：b：c=1：$\sqrt{3}$：2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．