Question

6．已知關(guān)于x的不等式|2x+a|＜b的解集為{x|1＜x＜2}．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）=2|x-a|+|x+b|的最小值．

Answer 1

分析 （1）解不等式|2x+a|＜b便可得到$\frac{-b-a}{2}＜x＜\frac{b-a}{2}$，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b-a}{2}=1}\\{\frac{b-a}{2}=2}\end{array}\right.$，這樣即可解出a=-3，b=1；
（2）先得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-3x-7}&{x≤-3}\\{x+5}&{-3＜x＜-1}\\{3x+7}&{x≥-1}\end{array}\right.$，看出f（x）為分段函數(shù)，在每一段上可根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在每一段上的值域，最后便可得出f（x）的最小值．

解答 解：（1）由|2x+a|＜b得-b＜2x+a＜b，即$\frac{-b-a}{2}＜x＜\frac{b-a}{2}$；
由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b-a}{2}=1}\\{\frac{b-a}{2}=2}\end{array}\right.$；
解得a=-3，b=1；
（2）f（x）=2|x+3|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-7}&{x≤-3}\\{x+5}&{-3＜x＜-1}\\{3x+7}&{x≥-1}\end{array}\right.$；
∴①x≤-3時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
∴f（x）≥f（-3）=2；
②-3＜x＜-1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（-3）＜f（x）＜f（-1）；
即2＜f（x）＜4；
③x≥-1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）≥f（-1）=4；
∴綜上得f（x）的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 考查絕對(duì)值不等式的解法，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，分段函數(shù)最值的求法，以及根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域，從而得出函數(shù)最值的方法．